再测试一下

【例21-16】甲乙乒乓球队进行团体对抗赛，每队由三名球员组成，双方都可排成三种不同的阵容，每一种阵容可以看成一种策略，双方各选一种策略参赛。比赛共赛三局，规定每局胜者得1分，输者得-1分，可知三赛三胜得3分，三赛二胜得1分，三赛一胜得-1分，三赛三负得-3分，甲队的策略集为 $S_{1} = \{\alpha_{1},\alpha_{2},\alpha_{3}\}$ ，乙队的策略集为 $S_{2} = \{\beta_{1},\beta_{2},\beta_{3}\}$ ，根据以往比赛得分资料，可得甲队的赢得矩阵为 $A$ ，如下所示。

$$
A = \left( \begin{array}{c c c} 1 & 1 & 1 \\ 1 & - 1 & - 3 \\ 3 & - 1 & 3 \end{array} \right)
$$

试问这次比赛各队采用哪种阵容上场最为稳妥。

解：

由赢得矩阵 $A$ 可看出，局中人甲队的最大赢得为3，要得到这个赢得，就应该选择策略 $\alpha_{3}$ 由于假定局中人乙队也是理智的，考虑到甲队打算出策略 $\alpha_{3}$ 的心理，于是准备用策略 $\beta_{2}$ 来对付甲队，这样使得甲队反而失掉1分……双方都考虑到对方为使自己尽可能地少得分而所做的努力，所以双方都不存在侥幸心理，而是从各自可能出现的最不利的情形中选择一种最为有利的情况作为决策的依据，这就是所谓“理智行为”，也就是对策双方实际上都能接受的一种稳妥方法。

甲队（局中人甲方）的 $\alpha_{1}$ 、 $\alpha_{2}$ 、 $\alpha_{3}$ 三种策略可能带来的最少赢得，即矩阵 $A$ 中每行的最小元素分别为1、-3、-1。

在这些最少赢得中最好的结果是1，即甲队应采取策略 $\alpha_{1}$ ，无论对手采用什么策略，甲队至少得1分，而出其他策略，都有可能使甲队的赢得少于1甚至输给乙方；同理，对乙队来说，策略 $\beta_{1}$ 、 $\beta_{2}$ 、 $\beta_{3}$ 可能带来的最少赢得，即矩阵 $A$ 中每列的最大元素（因为甲队得分越多，就使得乙队得分越少），分别为3、1、3。

其中，乙队最好的结果为甲队得1分，这时乙队采取 $\beta_{2}$ 策略，不管甲队采用什么策略甲队的得分不会超过1分（即乙队的失分不会超过1）。上述分析表明，双方的理智行为分别是甲队

应采用 $\alpha_{1}$ 策略，乙队应采用 $\beta_{2}$ 策略，这时甲队的赢得值和乙队的损失值都是1，相互的竞争使对策出现了一个最稳妥的结果，我们把 $\alpha_{1}$ 和 $\beta_{2}$ 分别称为局中人甲队和乙队的最优策略。由于甲队无论乙队采用什么策略都采用一种策略 $\alpha_{1}$ ，而乙队也无论甲队采用什么策略都采用一种策略 $\beta_{2}$ ，我们把这种最优策略 $\alpha_{1}$ 和 $\beta_{2}$ 分别称为局中人甲队和乙队的最优纯策略。只有当赢得矩阵 $A = (a_{ij})$ 中等式

$$
\max  _ {i} \min  _ {j} a _ {i j} = \min  _ {j} \max  _ {i} a _ {i j}
$$

成立时，局中人甲、乙两方才有最优纯策略， $(\alpha_{1}, \beta_{2})$ 称为对策 $G$ 在纯策略下的解，又称 $(\alpha_{1}, \beta_{2})$ 为对策 $G$ 的鞍点，其值 $V$ 称为对策 $G = \{S_{1}, S_{2}, A\}$ 的值，在此例中 $V = 1$ 。

上面例子是有实际背景支撑的以世界乒乓球锦标赛的男子团体赛斯韦思林杯赛为例。比赛赛制为五局三胜，赛前各队伍先要抽签确定主队、客队，然后双方各派3名选手参赛，并确定第1、2、3号队员的名单。对战场次分别是：第1场，主队1号对战客队2号；第2场，主队2号对战客队1号；第3场，主队3号对战客队3号；第4场，主队1号对战客队1号；第5场，主队2号对战客队2号，如图21-8所示。要想取胜对方，除了自身队员需要具有很强的实力，还要考虑对手排兵布阵的可能，以避其锋芒，择优安排。

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图21-8 五局三胜制图示

【例21-17】某单位采购员在秋天要决定冬季取暖用煤的储备问题。已知在正常的冬季气温条件下要消耗 $15\mathrm{t}$ 煤，而在较暖与较冷的气温条件下分别要消耗 $10\mathrm{t}$ 和 $20\mathrm{t}$ 。假定冬季的煤价随天气寒冷程度而有所变化，在较暖、正常、较冷的气候条件下每吨煤价分别为10元、15元和20元，又设秋季时煤价为10元/t。在没有关于当年冬季准确的气象预报的条件下，秋季储煤多少吨能使单位的支出最小？

解：可以把这一储备问题看成是一个对策问题。局中人I为采购员，局中人Ⅱ为大自然。采购员有三个策略，在秋季买 $10\mathrm{t}$ 、 $15\mathrm{t}$ 与 $20\mathrm{t}$ ，分别记为 $\alpha_{1},\alpha_{2},\alpha_{3}$ ；大自然也有三个策略，分别为冬季气候较暖、正常与较冷，分别记为 $\beta_{1},\beta_{2},\beta_{3}$ 。

将冬季取暖用煤实际费用（为秋季购煤费用和冬季不够时再补购的费用总和），作为局中人I采购员的赢得，得赢得矩阵如表21-18所示。

表 21-18 赢得矩阵数据

在表21-18中赢得矩阵数据基础上计算，有

$$
\begin{array}{c c c c} \beta_ {1} & \beta_ {2} & \beta_ {3} & \min  \\ \alpha_ {1} & - 1 0 0 & - 1 7 5 & - 3 0 0 \\ \alpha_ {2} & - 1 5 0 & - 1 5 0 & - 2 5 0 \\ \alpha_ {3} & - 2 0 0 & - 2 0 0 & - 2 0 0 \\ \max  - 1 0 0 & - 1 5 0 & - 2 0 0 \end{array}
$$

得

$$
\max  _ {i} \min  _ {j} a _ {i j} = \min  _ {j} \max  _ {i} a _ {i j} = a _ {3 3} = - 2 0 0
$$

故 $(\alpha_{3},\beta_{3})$ 为对策 $G$ 的解， $V_{G} = -200$ ，即秋季储煤 $20\mathrm{t}$ 为最优纯策略，这时支付冬季取暖用煤实际费用为200元。